Question

（2010•重慶一模）已知F是拋物線y²=4x的焦點，Q是拋物線的準線與x軸的交點，直線l經過點Q．
（I）若直線l與拋物線恰有一個交點，求l的方程；
（II）如題20圖，直線l與拋物線交于A、B兩點，記直線FA、FB的斜率分別為k₁、k₂，求k₁+k₂的值．

Answer 1

分析：（I）依題意得：Q（-1，0），設l的方程為y=k（x+1），代入拋物線方程有：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，由此能求出l的方程．
（II）記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4-2k2

k2

，x1x2=1，由此能求出k₁+k₂的值．

解答：解：依題意得：Q（-1，0），
直線l斜率存在，
設其斜率為k，則l的方程為y=k（x+1），
代入拋物線方程有：k²x²+（2k²-4）x+k²=0…（2分）
（I）若k≠0，令△=0得，k=±1，
此時l的方程為y=x+1，y=-x-1．
若k=0，方程有唯一解．
此時l的方程為y=0…（4分）
（II）顯然k≠0，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

4-2k2

k2

，x1x2=1，…（8分）
k1+k2=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

2k(x1x2-1)

(x1-1)(x2-1)

=0…（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．