Question

設F（1，0），M點在x軸的負半軸上，點P在y軸上，且．
（1）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；
（2）若A（4，0），是否存在垂直x軸的直線l被以AN為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由向量關系，得出P為MN的中點．設N（x，y），欲求點N的軌跡C的方程，只須求出x，y的關系式即可．由題中的向量關系即可得出點N的軌跡C的方程；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在垂直x軸的直線l被以AN為直徑的圓截得的弦長恒為定值，再利用數形結合求解，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）∵，故P為MN的中點．
設N（x，y），由M點在x軸的負半軸上，則
又F（1，0），∴
又∵，∴
所以，點N的軌跡C的方程為y²=4x（x＞0）
（2）設AN的中點為B，垂直于x軸的直線方程為x=a，
以AN為直徑的圓交l于C，D兩點，CD的中點為H．∵，∴=
所以，令a=3，則對任意滿足條件的x，
都有|CH|²=-9+12=3（與x無關），即為定值．
點評：本小題主要考查向量在幾何中的應用、拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．