Question

設F（1，0），M點在x軸的負半軸上，點P在y軸上，且

MP

=

PN

 ， 

PM

⊥

PF

．
（1）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；
（2）若A（4，0），是否存在垂直x軸的直線l被以AN為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由向量關系

MP

=

PN

，得出P為MN的中點．設N（x，y），欲求點N的軌跡C的方程，只須求出x，y的關系式即可．由題中的向量關系即可得出點N的軌跡C的方程；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在垂直x軸的直線l被以AN為直徑的圓截得的弦長恒為定值，再利用數形結合求解，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）∵

MP

=

PN

，故P為MN的中點．
設N（x，y），由M點在x軸的負半軸上，則M(-x，0) ， P(0，

y

2

) ， (x＞0)
又F（1，0），∴

PM

=(-x，-

y

2

) ， 

PF

=(1，-

y

2

)
又∵

PM

⊥

PF

，∴

PM

•

PF

=-x+

y2

4

=0
所以，點N的軌跡C的方程為y²=4x（x＞0）
（2）設AN的中點為B，垂直于x軸的直線方程為x=a，
以AN為直徑的圓交l于C，D兩點，CD的中點為H．∵|CB|=

1

2

|AN|=

1

2

(x-4)2+y2

，|BH|=|

x+4

2

-a|=

1

2

|x-2a+4|∴|CH|2=|CB|2-|BH|2=

1

4

[(x-4)2+y2]-

1

4

(x-2a+4)2=

1

4

[(4a-12)x-4a2+16a]=(a-3)x-a2+4a
所以，令a=3，則對任意滿足條件的x，
都有|CH|²=-9+12=3（與x無關），即|CD|=2

3

為定值．

點評：本小題主要考查向量在幾何中的應用、拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．