Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓1（a＞b＞0）的右頂點為（2，0），離心率為，P是直線x＝4上任一點，過點M（1，0）且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若P點的坐標為（4，3），求弦AB的長度；

（3）設直線PA，PM，PB的斜率分別為k1，k2，k3，問：是否存在常數λ，使得k1+k3＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，λ＝2，計算見解析

【解析】

(1)根據題意可知，再由離心率公式可得，然后根據得出，即可得橢圓的方程；

(2)根據 點的坐標寫出直線方程，與橢圓聯立解得坐標，利用兩點間距離公式即可求得弦的長度；

(3)先假設存在，后分直線斜率存在和不存在兩種情況進行求解，直線斜率不存在時容易的,直線斜率存在時，設點坐標，與橢圓聯立，再分別求出，進行化簡整理即可得到的值.

（1）由題知，，

，，

∴橢圓方程為．

（2），

，

∵直線與直線垂直，

∴，

∴直線方程，即，

聯立，得

或,

，，

．

（3）假設存在常數，使得．

當直線的斜率不存在時，其方程為，代入橢圓方程得，，此時，易得,

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，

代入橢圓方程得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，

，，

直線方程為，則

,

,

,

,

，

即，

化簡得：，

將，，，，代入并化簡得：

．

綜上：．