Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）ⁿ，其中n=6

∫

π 2 0

cosxdx，

f′(0)

f(0)

=-3，則f（x）的展開(kāi)式中x⁴的系數(shù)為（　　）

• A、-360
• B、360
• C、-60
• D、60

Answer 1

分析：由題意利用其中n=6

∫

π 2 0

cosxdx先求出n．再利用f（x）=（x+a）ⁿ及

f′(0)

f(0)

=-3，求出a，然后利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)求出展開(kāi)式中的含x⁴的系數(shù)．

解答：解：有n=6

∫

π 2 0

cosxdx=6sinx

|

π 2 0

=6，
∴f（x）=（x+a）ⁿ=（x+a）⁶，
又

f′(0)

f(0)

=-3，而f^′（x）=6（x+a）⁵，
∴

f′(0)

f(0)

=

6a5

a6

=-3?a=-2，∴f（x）=（x-2）⁶∴利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)可得：f（x）的展開(kāi)式中x⁴的系數(shù)為C₆²（-2）²=60．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：此題考查了定積分的求值，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)及求函數(shù)值，還考查了方程的思想及二項(xiàng)式定理的展開(kāi)后求指定項(xiàng)的系數(shù)．