Question

如圖為函數f（x）=

x

（0＜x＜1）的圖象，其在點M（t，f（t））處的切線為l，l與y軸和直線y=1分別交于點P、Q，點N（0，1），若△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個，則b的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：對函數求導可得，f′(x)=

1

2 x

，根據導數的幾何意義先寫出過點M的切線方程為y-

t

=

1

2 t

(x-t)，進而可得面積S
=

t

-t+

t t

4

，令g（t）=

t

-t+

t t

4

（0＜t＜1），要使△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個即g（t）在（0，1）上與y=b有兩個交點，通過g′(t)=

3

8

t

+

1

2 t

-1=

3t-8 t +4

8 t

=

(3 t -2)( t -2)

8 t

研究函數函數g（t）在（0，1）上的單調性，結合函數的圖象進行求解

解答：解：對函數求導可得，f′(x)=

1

2 x

由題意可得M（t，

t

），切線的斜率k=f′(t)=

1

2 t

過點M的切線方程為y-

t

=

1

2 t

(x-t)
則可得P(0，

t

2

)    N(0，1)   Q(2

t

-t，1)
S△PNQ=

1

2

PN•NQ=

1

2

(2

t

-t)(1-

t

2

)l=

t

-t+

t t

4

l
令g（t）=

t

-t+

t t

4

（0＜t＜1）
g′(t)=

3

8

t

+

1

2 t

-1=

3t-8 t +4

8 t

=

(3 t -2)( t -2)

8 t

函數g（t）在（0，

4

，9

）單調遞增，在[

4

9

，1)單調遞減
由于g(1)=

1

4

，g(

4

9

)=

8

27

△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個即g（t）在（0，1）上與y=b有兩個交點
，根據函數的圖象可知

1

4

＜b＜

8

27

故答案為：(

1

4

，

8

27

)

點評：本題主要考查了導數的幾何意義的應用：求切線方程；利用導數判斷函數的單調性，求解函數的最值，解決本題的關鍵是構造函數g（t），通過研究該函數的性質，給出相應的函數的圖象，從而進行求解