Question

已知a_n=n·0.9ⁿ（n∈N*），
（1）判斷{a_n}的單調性；
（2）是否存在最小正整數k，使a_n＜k對于n∈N* 恒成立？

Answer 1

解：（1）a_n+1-a_n=（n+1）·=（0.9-0.1n）·0.9ⁿ，
∴當n＜9時，a_n+1＞a_n；當n=9時，a_n+1=a_n；當n＞9時，a_n+1＜a_n，
∴a₁，a₂，…，a₉單調遞增，a₉=a₁₀，
a₁₀，a₁₁，…單調遞減；
（2）由（1）知，a_n中a₉和a₁₀相等且最大，則數列中的最大項為，
∴存在最小正整數k=4，使a_n＜4對n∈N*恒成立。