Question

下列命題：
①△ABC中，若A＜B，則cos2A＜cos2B；
②若A，B，C為△ABC的三個內角，則

4

A

+

1

B+C

的最小值為

9

π

③已知an=sin

nπ

6

+

16

2+sin nπ 6

（n∈N^*），則數列{a_n}中的最小項為

19

3

；
④若函數f（x）=log₂（x+1），且0＜a＜b＜c，則

f(a)

a

＜

f(b)

b

＜

f(c)

c

；
⑤函數f(x)=

x2-2x+5

+

x2-4x+13

的最小值為

29

．
其中所有正確命題的序號是

②③

．

Answer 1

分析：①先有正弦定理判斷出sinA與sinB的大小關系，然后再利用余弦的倍角公式展開進行化簡討論．
②先利用A+B+C=π，進行化簡，然后利用基本不等式進行證明．
③將數列轉化為基本不等式的形式，然后利用基本不等式進行判斷．
④構造函數

f(x)

x

，轉化為斜率的大小進行判斷．
⑤先配方，將根式轉化為兩點間距離之和的最小值來求．

解答：解：①①△ABC中，若A＜B，則a＜b，由正弦定理

a

sin?A

=

b

sin?B

得0＜sinA＜sinB，又cos?2A=1-2sin?²A，cos?2B=1-2sin?²B，所以cos2A＞cos2B，所以①錯誤．
②因為A+B+C=π，α=A，β=B+C，α+β=π，所以

α+β

π

=1，原式等價為

4

α

+

1

β

=(

4

α

+

1

β

)?1=(

4

α

+

1

β

)(

α+β

π

)=

1

π

(5+

α

β

+

4β

α

)≥

1

π

(5+2

α β ? 4β α

)=

9

π

，當且僅當

α

β

=

4β

α

，即α=2β時取等號．所以②正確．
③因為an=sin

nπ

6

+

16

2+sin nπ 6

=2+sin?

nπ

6

+

16

2+sin? nπ 6

-2，因為1≤2+sin?

nπ

6

≤3，所以設t=2+sin?

nπ

6

，則1≤t≤3．因為函數y=t+

16

t

-2在區間（0，4）上單調遞減，所以在[1，3]上單調遞減，所以當t=3時，函數有最小值3+

16

3

-2=

19

3

，則對應數列{a_n}中的最小項為

19

3

，所以③正確．
④令g（x）=

f(x)

x

，則函數g（x）的幾何意義為曲線上點與原點連線斜率的大小．由題意可知

f(a)

a

，

f(b)

b

，

f(c)

c

分別看作函數f（x）=log₂（x+1）圖象上的點（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））與原點連線的斜率，由圖象可知

f(a)

a

＞

f(b)

b

＞

f(c)

c

，所以④錯誤．
⑤原式可化簡為f(x)=

(x-1)2+4

+

(x-2)2+9

=

(x-1)2+(0-2)2

+

(x-2)2+(0-3)2

，設點P（x，0），A（1，2），B（2，3），
則原式等價為|PA|+|PB|的最小值，找出點A關于x軸的對稱點D（1，-2）．則|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|PD|，所以最小值為|PD|=

(2-1)2+(-2-3)2

=

1+25

=

26

．所以⑤錯誤．
所有正確命題的序號是②③．
故答案為：②③．

點評：本題重點考查了基本不等式的應用，以及對復雜問題，要根據幾何意義進行轉化的數學思路．對學生的轉化能力，運算能力都有很高的要求，這類問題的難度較大，綜合性較強．