Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+（﹣1）n ，其中n∈N* ， a為常數．
（Ⅰ）當n=2，且a＞0時，判斷函數f（x）是否存在極值，若存在，求出極值點；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）若a=1，對任意的正整數n，當x≥1時，求證：f（x+1）≤x．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得函數f（x）的定義域為{x|x＞0}，當n=2時，f（x）= +alnx，所以f′（x）= ，
當a＞0時，由f′（x）=0，得x1= ＞0，x2=﹣ ＜0，
此時f′（x）= ，
當x∈（0，x1）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（x1 ， +∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當a＞0時，f（x）在x1= 處取得極小值，極小值點為 ．
（Ⅱ）證：因為a=1，所以f（x）= +lnx，
當n為偶數時，令g（x）=x﹣ ﹣ln（x+1），
則g′（x）= + ，
∵x≥1，∴g′（x）＞0，
所以當x∈[1，+∞）時，g（x）單調遞增，g（x）的最小值為g（1）．
因此：g（x）=x﹣ ﹣ln（1+x）=≥g（1）=1﹣ ﹣ln（1+1）≥1﹣ ﹣ln2＞0，
所以f（x+1）≤x成立．
當n為奇數時，
要證f（x+1）≤x，由于（﹣1）n ＜0，所以只需證ln（x+1）≤x，令h（x）=x﹣ln（x+1），
則h′（x）=1﹣ = ＞0，
當x∈[1，+∞）時，h（x）=x﹣ln（x+1）單調遞增，又h（1）=1﹣ln2=ln ＞0，
所以當x≥1時，恒有h（x）＞0，命題ln（x+1）≤x成立，
綜上所述，結論成立．
【解析】（Ⅰ）令n=2，求出f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極小值即可；（Ⅱ）a=1時，求出f（x）的導數，通過討論n是奇數，偶數結合函數的單調性證明結論即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)．