Question

已知橢圓 經過點其離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

(Ⅱ)設直線與橢圓相交于A、B兩點，以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓上，為坐標原點.求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) (3)

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）由已知可得，所以3a²=4b²①（1分）

又點在橢圓C上，

所以②（2分）

由①②解之，得a²=4，b²=3．

故橢圓C的方程為．（5分）

（Ⅱ）當k=0時，P（0，2m）在橢圓C上，解得，

所以．（6分）

當k≠0時，則由

消y化簡整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²﹣12=0，

△=64k²m²﹣4（3+4k²）（4m²﹣12）=48（3+4k²﹣m²）＞0③（8分）

設A，B，P點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），

則．（9分）

由于點P在橢圓C上，所以．（10分）

從而，化簡得4m²=3+4k²，經檢驗滿足③式．（11分）

又

=

=．（12分）

因為，得3＜4k²+3≤4，有，

故．（13分）

綜上，所求|OP|的取值范圍是．（14分）

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓的標準方程問題．當研究橢圓和直線的關系的問題時，常可利用聯立方程，進而利用韋達定理來解決