Question

【題目】已知函數f（x）=x2+2ax+a+1．
（1）當a=1時，求函數在區間[﹣2，3]上的值域；
（2）函數f（x）在[﹣5，5]上單調，求實數a的取值范圍；
（3）求函數f（x）在[0，2]上的最小值g（a）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為函數f（x）=x2+2ax+a+1，

當a=1時：f（x）=x2+2x+2，x∈[﹣2，3]，

考慮函數f（x）的對稱軸x=﹣1∈[﹣2，3]，

∴fmin（x）=f（﹣1）=1，

∴fmax（x）=f（3）=17；

∴函數的值域是[1，17]

（2）解：∵函數f（x）在[﹣5，5]上單調，

∴函數的對稱軸x=﹣a[﹣5，5]，

∴a∈（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）

（3）解：①當﹣a＜0時，即a＞0函數f（x）=x2+2ax+a+1在區間[0，2]上是增函數，

故當x=0時，函數取得最小值是f（0）=a+1；

②當0≤﹣a≤2時，即﹣2≤a≤0由于函數f（x）=x2+2ax+a+1對稱軸是x=﹣a，

故當x=﹣a時，函數在區間[0，2]上取得最小值是f（﹣a）=a2+a+1．

③當﹣a＞2時，即a＜﹣2函數f（x）=x2+2ax+a+1在區間[0，2]上是減函數，

故當x=2時，函數取得最小值是f（2）=5a+5．

綜上可得 g（a）=

【解析】（1）將a=1的值代入f（x）的表達式，求出函數f（x）的解析式，從而求出函數的值域即可；（2）先求出函數的對稱軸，結合函數的單調性判斷即可；（3）通過討論a的范圍，根據函數的單調性判斷g（a）的解析式即可．
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和二次函數在閉區間上的最值是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；當時，當時，；當時在上遞減，當時，．