Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（1）若對任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，都有f（x₁）≠f（x₂），求證：關于x的方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有兩個不相等的實數根且必有一個根屬于（x₁，x₂）；
（2）若關于x的方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]在（x₁，x₂）的根為m，且x1，m-

1

2

，x2成等差數列，設函數f （x）的圖象的對稱軸方程為x=x₀，求證：x₀＜m²．

Answer 1

分析：（1）通過計算一元二次方程的判別式大于0，可得方程有兩個不相等的實數根；設方程對應的函數為g（x），由
g（x₁）g（x₂）＜0，可得方程有一個根屬于（x₁，x₂）．
（2）由題意可得f(m)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]，即a（2m²-x₁²-x₂²）+b（2m-x₁-x₂）=0，由x1，m-

1

2

、x₂成等差數列，可得 x₁+x₂=2m-1，故b=-a（2m²-x₁²-x₂²），由x0=-

b

2a

=

2m2-( x 2 1 + x 2 2 )

2

=m2-

x 2 1 + x 2 2

2

證得結論．

解答：證明：（1）∵f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]，∴ax2+bx+c=

1

2

[a

x

2 1

+bx1+c+a

x

2 2

+bx2+c]，
整理得：2ax²+2bx-a（x₁²+x₂²）-b（x₁+x₂）=0，（2分）
∴△=4b²+8a[a（x₁²+x₂²）+b（x₁+x₂）]=2[（2ax₁+b）²+（2ax₂+b）²]，
∵x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，∴2ax₁+b≠2ax₂+b，（4分）
∵△＞0，故方程有兩個不相等的實數根．                    （6分）
令g(x)=f(x)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]，（7分）
則g(x1)g(x2)=-

1

4

[f(x1)-f(x2)]2，
又f（x₁）≠f（x₂），則g（x₁）g（x₂）＜0，
故方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有一個根屬于（x₁，x₂）．         （9分）
（2）∵方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]在（x₁，x₂）根為m，
∴f(m)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]，∴a（2m²-x₁²-x₂²）+b（2m-x₁-x₂）=0，（10分）
∵x1，m-

1

2

、x₂成等差數列，則x₁+x₂=2m-1，（12分）
∴b=-a（2m²-x₁²-x₂²），
故x0=-

b

2a

=

2m2-( x 2 1 + x 2 2 )

2

=m2-

x 2 1 + x 2 2

2

＜m2．                    （14分）

點評：本題考查一元二次方程根的分布與系數的關系，二次函數的性質，等差數列的性質，體現了轉化的數學思想．