Question

【題目】已知橢圓：（a＞b＞0）過點E（，1），其左、右頂點分別為A，B，左、右焦點為F1，F2，其中F1（，0）．

（1）求橢圓C的方程：

（2）設M（x0，y0）為橢圓C上異于A，B兩點的任意一點，MN⊥AB于點N，直線l：x0x+2y0y﹣4＝0，設過點A與x軸垂直的直線與直線l交于點P，證明：直線BP經過線段MN的中點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見解析．

【解析】

（1）根據橢圓上一點到兩焦點的距離之和為2a，可求出a，已知焦點坐標，可知c，可求方程．

（2）根據題意求出ABP的坐標，求PB直線方程，求出點N坐標，求出其中點，可代入判斷在直線PB上．

（1）由題意知，2a＝|EF1|+|EF2|4，

則a＝2，c，b，

故橢圓的方程為，

（2）由（1）知A（﹣2,0），B（2,0），

過點A且與x軸垂直的直線的方程為x＝﹣2，

結合方程x0x+2y0y﹣4＝0，得點P（﹣2,），

直線PB的斜率為，

直線PB的方程為，

因為MN⊥AB于點N，所以N（x0,0），線段MN的中點坐標（），

令x＝x0，得，

因為，所以，

即直線BP經過線段MN的中點．