Question

如圖，在三棱錐P―ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB＝BC＝2，∠ABC＝，M為棱PC的中點。

（1）求證：點P，A，B，C四點在同一球面上；

（2）求二面角A―MB―C的大小；

（3）求過P、A、B、C四點的球面中，A、B兩點的球面距離。

Answer 1

解：（1）由已知條件知，在中，，

則

∴

∴

即P，A，B，C四點都在以M為球心、半徑為PM的球面上。

（2）以AC為軸，AP為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則

設平面AMB的法向量為

∵

由，得，

所以

同理，設平面BMC的法向量為，則

，解得

所以故二面角的大小為

（3）∵過P、A、B、C四點的球面的球心為M，半徑為，

在中，，

∴

故A、B兩點的球面距離為。