Question

設F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點．
（1）若橢圓C上的點A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）設點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程；
（3）若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時．求證：k_PM•k_PN是與點P位置無關的定值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓定義集合已知條件求得a，把點A的坐標代入橢圓方程求得b，則橢圓方程可求，由c²=a²-b²求出c后可得焦點坐標；
（2）設出線段F₁K的中點坐標及K點坐標，有重點坐標公式得到坐標關系，利用代入法求得線段F₁K的中點軌跡方程；
（3）設出M點及N點坐標，在設出P點坐標，由兩點式寫出PM與PN所在直線的斜率，作積后把點的縱坐標用橫坐標表示，整理后可得要證明的結論．

解答：解：（1）由橢圓C上的點A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，可知2a=4，即a=2．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1，把點A（1，

3

2

）代入得：

1

4

+

9

4b2

=1，解得b²=3．
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
由c²=a²-b²=4-3=1，得焦點坐標為F₁（-1，0），F₂（1，0）；
（2）設線段F₁K的中點為G（x，y），K（x₀，y₀），由中點坐標公式，得

-1+x0=2x y0=2y

，即

x0=2x+1 y0=2y

，代入橢圓方程得：

(2x+1)2

4

+

4y2

3

=1．
∴線段F₁K的中點軌跡方程為

(2x+1)2

4

+

4y2

3

=1．
（3）設點M（m，n），則點N的坐標為（-m，-n），其中

m2

a2

+

n2

b2

=1．
則n2=b2-

b2

a2

m2．
又設點P的坐標為（x₀，y₀），則

x02

a2

+

y02

b2

=1，y02=b2-

b2

a2

x02．
由k_PM=

y0-n

x0-m

，k_PN=

y0+n

x0+m

，
得k_PM×k_PN═

y0-n

x0-m

×

y0+n

x0+m

=

y02-n2

x02-m2

，
將y02=b2-

b2

a2

x02，n2=b2-

b2

a2

m2代入得k_PM×k_PN=

y02-n2

x02-m2

，得
k_PM×k_PN=

b2- b2 a2 x02-b2+ b2 a2 m2

x02-m2

=

b2

a2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查了與直線有關的動點的軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了代入法，考查了學生的計算能力，是壓軸題．