Question

設F₁，F₂分別為橢C：（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，橢圓C上的點到兩點的距離之和等于4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設點P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動點求|PQ|的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵橢圓C上的點A（1，）到橢圓+=1（a＞b＞0）兩焦點F₁，F₂的距離之和等于4，
∴2a=4，a=2．
∴+=1，
∴b²=3，
∴橢圓的方程為：+=1，其焦點坐標為F₁（-1，0），F₂（1，0）；
（Ⅱ）設P（2cosθ，sinθ），
∵Q（0，），
∴|PQ|²=4cos²θ+
=4-4sin²θ+3sin²θ-sinθ+
=-sin²θ-sinθ+
=-+5≤5．
∴|PQ|的最大值為．
分析：（Ⅰ）依題意可求得a=2，b²=3，從而可求得橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）利用橢圓的參數方程，利用配方法與正弦函數的性質即可求得|PQ|的最大值．
點評：本題考查橢圓的標準方程與性質，考查橢圓的參數方程及兩點間的距離，考查配方法與最值問題，屬于難題．