Question

某小區想利用一矩形空地建市民健身廣場，設計時決定保留空地邊上的一水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個等腰直角三角形，其中，，且中，，經測量得到．為保證安全同時考慮美觀，健身廣場周圍準備加設一個保護欄．設計時經過點作一直線交于，從而得到五邊形的市民健身廣場，設．
（1）將五邊形的面積表示為的函數；
（2）當為何值時，市民健身廣場的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

（1）（）；（2）時，最大面積為.

解析試題分析：（1）要求五邊形的面積，可先求的面積，為此要求出（因為），作，垂足為，則，又，因此利用相似形的性質可得，這樣可得，于是；（2）對要求最大值，可把作為一個整體進行變形，即，可以應用基本不等式求得最值，要注意等號成立的條件.
（1）作GH⊥EF，垂足為H，
因為，所以，因為
所以，所以       2分
過作交于T，
則，
所以 
                             7分
由于與重合時，適合條件，故,               8分

（2），           10分
所以當且僅當，即時，取得最大值2000，      13分
所以當時，得到的市民健身廣場面積最大，最大面積為．       14分
考點：（1）相似形與多邊形的面積；（2）函數的最值問題.