Question

【題目】在△ABC內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，cos = ，且acosB+bcosA=2，則△ABC的面積的最大值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵cos = ，
∴cosC=2cos2 ﹣1=2（ ）2﹣1= ；
∵acosB+bcosA=2，
∴a× +b× =2，
∴c=2，…（9分）
∴4=a2+b2﹣2ab× ≥2ab﹣2ab× = ab，
∴ab≤ （當且僅當a=b= 時等號成立）
由cosC= ，得sinC=
∴S△ABC= absinC≤ × × = ，
故△ABC的面積最大值為
所求的式子cosC利用二倍角的余弦函數公式化簡后，將已知的cos 的值代入即可求出cosC值，利用余弦定理分別表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化簡后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出sinC的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面積的最大值．