Question

定義“正對數”：ln+x=

0，0＜x＜1 lnx，x≥1

，現有四個命題：
①若a＞0，b＞0，則ln⁺（a^b）=bln⁺a
②若a＞0，b＞0，則ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b
③若a＞0，b＞0，則ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b
④若a＞0，b＞0，則ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2
其中正確的命題有（　　）

A．①③④

B．①②③

C．①②④

D．②③④

Answer 1

∵定義“正對數”：ln+x=

0，0＜x＜1 lnx，x≥1

，
①當0＜a＜1，b＞0時，0=0^b＜a^b＜1^b=1，左=右=0；
當a＞1，b＞0時，a^b＞1，左端ln⁺（a^b）=lna^b=blna=右端，故①真；
②若0＜a＜1，b＞0時，ab∈（0，1），也可能ab∈（1，+∞），舉例如下：ln⁺（

1

3

×2）=0≠ln2=ln⁺

1

3

+ln⁺2，故②錯誤；
③若0＜a＜b＜1，0＜

a

b

＜1，左端=0，右端=0，左端≥右端，成立；
當0＜a＜1≤b，0＜

a

b

＜1，ln⁺b=lnb≥0，左端=0，右端=0-lnb≤0，左端≥右端，成立；
當1≤a＜b時，ln⁺（

a

b

）=0，ln⁺a=lna，ln⁺b=lnb，左端=0≥lna-lnb=右端，成立；
同理可知，當0＜b＜a＜1，0＜b＜1≤a，1≤b＜a時，總有左端≥右端；
當0＜a=b時，左端=右端，不等式也成立；
綜上，③真；
④若0＜a+b＜1，b＞0時，左=0，右端≥0，顯然成立；
若a+b＞1，則ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2?ln⁺

a+b

2

≤ln⁺a+ln⁺b，成立，故④真；
綜上所述，正確的命題有①③④．
故選：A．