Question

設f（x）=x²-2|x|+3（-3≤x≤3）
（1）證明f（x）是偶函數；
（2）指出函數f（x）的單調增區間；
（3）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）函數的定義域為{x|-3≤x≤3}，關于原點對稱，再驗證f（-x）與f（x）的關系，可得結論；
（2）寫出分段函數，即可作出函數的圖象，從而可得函數f（x）的單調增區間；
（3）根據圖象可得函數的值域．

解答：（1）證明：（1）f（x）的定義域為{x|-3≤x≤3}，關于原點對稱
又f（-x）=（-x）²-2|-x|+3=x²-2|x|+3=f（x），∴f（x）是偶函數；
（2）解：f(x)=

x2+2x+3=(x+1)2+2(-3≤x≤0) x2-2x+3=(x-1)2+2(0＜x≤3)

作出函數的圖象，如圖
，
可知：f（x）的單調增區間為[-1，0]和[1，3]
（3）解：由（2）知，x=±1時，函數取得最小值；x=±3時，函數取得最大值
∴函數f（x）的值域為[2，6]．

點評：本題考查函數奇偶性的判定，考查函數的單調性與值域，正確作出函數圖象是關鍵．