Question

對于函數f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀，則稱x₀為函數f（x）的不動點，
（1）設f（x）=x²-2，求函數f（x）的不動點；
（2）設f（x）=ax²+bx-b，若對任意實數b，函數f（x）都有兩個相異的不動點，求實數a的取值范圍；
（3）若奇函數f（x）（x∈R）存在K個不動點，求證：K為奇數．

Answer 1

解：（1）由f（x）=x²-2=x，得x=-1，或x=2．
∴f（x）的不動點是-1和2．
（2）因為f（x）=ax²+bx-b對任意實數b，都有兩個相異的不動點，
即方程ax²+bx-b=x恒有兩個不同解，
∴ax²+（b-1）x-b=0恒有兩個不同解
∴△=（b-1）²+4ab＞0恒成立，
∴b²+（4a-2）b+1＞0恒成立，
∴（4a-2）²-4＜0，
解得0＜a＜1．
故實數a的取值范圍是（0，1）．
（3）證明：∵奇函數f（x）（x∈R）存在K個不動點，
對于f（x）上任意不動點（x₀，x₀），有f（x₀）=x₀，
∵f（x）是奇函數，∴f（-x₀）=-f（x₀）=-x₀，
∴（-x₀，-x₀）也是f（x）上的不動點，
即：x₀≠0時，f（x）的不動點必成對出現
∵（0，0）是f（x）的不動點
所以，f（x）不動點的個數k必為奇數．
分析：（1）由f（x）=x²-2=x，能求出f（x）的不動點．
（2）由f（x）=ax²+bx-b，對任意實數b，都有兩個相異的不動點，知方程ax²+bx-b=x恒有兩個不同解，故ax²+（b-1）x-b=0恒有兩個不同解，故△=（b-1）²+4ab＞0恒成立，由此能求出實數a的取值范圍．
（3）對于f（x）上任意不動點（x₀，x₀），有f（x₀）=x₀，由f（x）是奇函數，知f（-x₀）=-f（x₀）=-x₀，故（-x₀，-x₀）也是f（x）上的不動點，再由（0，0）是f（x）的不動點，知f（x）不動點的個數k必為奇數．
點評：本題考查函數的恒成立問題的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．