Question

已知數列{a_n}中，a_n+1=S_n-n+3，n∈N^*，a₁=2．
（Ⅰ）求證：當n≥2，n∈N^*時，{a_n-1}是等比數列；
（Ⅱ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）利用錯位相減法求出T_n，即可證明不等式

1

3

≤T_n＜

4

3

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據等比數列的定義即可證明：當n≥2，n∈N^*時，{a_n-1}是等比數列；
（Ⅱ）利用{a_n-1}是等比數列，即可求{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設b_n=

n

Sn-n+2

（n∈N^*）的前n項和為T_n，求證：

1

3

≤T_n＜

4

3

（n∈N^*）．

解答： 解：（Ⅰ）∵

an+1=Sn-n+3 an=Sn-1-(n-1)+3(n≥2)

，
∴a_n+1-a_n=a_n-1⇒a_n+1-1=2（a_n-1），
∴{a_n-1}從第二項起為公比等于2的等比數列．
（Ⅱ）∵{a_n-1}從第二項起為公比等于2的等比數列．
∴a₂=S₁-1+3=4，a₁=2a₂-1≠2（a₁-1），
∴an=

2，(n=1) 3×2n-2+1，(n≥2，n∈N*)

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知Sn=an+1+n-3=3×2n-1+n-2⇒bn=

n

3×2n-1

，
則Tn=

1

3

(

1

20

+

2

21

+???+

n

2n-1

)，

1

2

Tn=

1

3

(

1

21

+

2

22

+???+

n

2n

)，
兩式相減得

1

2

Tn=

1

3

(1+

1

21

+

1

22

+???+

1

2n-1

-

n

2n

)=

1

2

Tn=

1

3

?(

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

)=

1

3

?(2-

n+2

2n

)，
即Tn=

4

3

-

2n+4

3•2n

，
∵bn＞0∴Tn≥T1=

1

3

，
∴

1

3

≤Tn＜

4

3

．

點評：本題主要考查等比數列的應用，以及考查數列求通項、錯位相減法求和，考查學生的計算能力．