Question

【題目】已知點P（2，0），及⊙C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．
（1）當直線l過點P且與圓心C的距離為1時，求直線l的方程；
（2）設過點P的直線與⊙C交于A、B兩點，當|AB|=4，求以線段AB為直徑的圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，圓的標準方程為：（x﹣3）2+（y+2）2=9，

①設直線l的斜率為k（k存在）

則方程為y﹣0=k（x﹣2）即kx﹣y﹣2k=0

又⊙C的圓心為（3，﹣2），r=3，

由

所以直線方程為 即3x+4y﹣6=0；

②當k不存在時，直線l的方程為x=2．

綜上，直線l的方程為3x+4y﹣6=0或x=2

（2）解：由弦心距 ，即|CP|= ，

設直線l的方程為y﹣0=k（x﹣2）即kx﹣y﹣2k=0則圓心（3，﹣2）到直線l的距離d= = ，

解得k= ，所以直線l的方程為x﹣2y﹣2=0聯立直線l與圓的方程得 ，

消去x得5y2﹣4=0，則P的縱坐標為0，把y=0代入到直線l中得到x=2，

則線段AB的中點P坐標為（2，0），所求圓的半徑為： |AB|=2，

故以線段AB為直徑的圓的方程為：（x﹣2）2+y2=4

【解析】（1）把圓的方程變為標準方程后，分兩種情況①斜率k存在時，因為直線經過點P，設出直線的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設直線的距離d，讓d等于1列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根據k的值和P的坐標寫出直線l的方程即可；②當斜率不存在時顯然得到直線l的方程為x=2；（2）利用弦|AB|的長和圓的半徑，根據垂徑定理可求出弦心距|CP|的長，然后設出直線l的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于|CP|列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫出直線l的方程，把直線l的方程與已知圓的方程聯立消去x得到關于y的一元二次方程，利用韋達定理即可求出線段AB中點的縱坐標，把縱坐標代入到直線l的方程中即可求出橫坐標，即可得線段AB的中點坐標即為線段AB為直徑的圓的圓心坐標，圓的半徑為|AB|的一半，根據圓心和半徑寫出所求圓的標準方程即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解一般式方程(直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）)，還要掌握圓的標準方程(圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程)的相關知識才是答題的關鍵．