Question

【題目】如圖，我國南海某處的一個圓形海域上有四個小島，小島B與小島A、小島C相距都為5n mile，與小島D相距為 n mile．小島A對小島B與D的視角為鈍角，且 ．
（Ⅰ）求小島A與小島D之間的距離和四個小島所形成的四邊形的面積；
（Ⅱ）記小島D對小島B與C的視角為α，小島B對小島C與D的視角為β，求sin（2α+β）的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ，且角A為鈍角，∴ ．
在△ABD中，由余弦定理得：AD2+AB2﹣2ADABcosA=BD2 ．
∴ AD2+8AD﹣20=0．
解得AD=2或AD=﹣10（舍）．
∴小島A與小島D之間的距離為2n mile．
∵A，B，C，D四點共圓，∴角A與角C互補．
∴ ， ．
在△BDC中，由余弦定理得：CD2+CB2﹣2CDCBcosC=BD2 ．
∴ CD2﹣8CD﹣20=0．
解得CD=﹣2（舍）或CD=10
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△BCD
= = =3+15=18．
∴四個小島所形成的四邊形的面積為18平方n mile．
（Ⅱ）在△BDC中，由正弦定理得： ．
∵DC2+DB2＞BC2 ， ∴α為銳角，∴ ．
又∵ ， ．
∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]
=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）
= =
【解析】（Ⅰ）利用余弦定理求出，AD，CD，即可求小島A與小島D之間的距離和四個小島所形成的四邊形的面積；（Ⅱ）求出sin（α+β），cos（α+β），利用和角的三角函數公式求sin（2α+β）的值．