Question

已知函數f(x)=.

(1)當a＞0時，解關于x的不等式f(x)＜0；

(2)若不等式f(x)≥f(1)對x∈R恒成立，求f(x)的單調遞減區間．

Answer 1

解：（1）f(x)＜0即＜0

∵a＞0,即＜0 

當a＞1時，  原不等式解集為

{x＜x-} 

當a=1時，  原不等式解集為

{x|x＜-1} 

當0＜a＜1時，  原不等式解集為

 

（將“a=1”并入“a＞1”中不扣分）

（2）法Ⅰ：由題意知f(1)是f(x)的最小值，又f(1)不可能是端點值

則f(1)應是f(x)的一個極小值，即(1)=0

(x)=

由(1)=0得-a+2-a²=0

∴a=-2或a=1 

當a=1時  f(x)=無極值

∴a=1舍去  （8分）

當a=-2時  f(x)=且

(x)=

由(x)=0  即  x²+x-2=0

得x₁=1,x₂=-2 

列表

x	(-∞,2)	-2	(-2,1)	1	(1,+∞)
(x)	+	0	-	0	+
f(x)		極大值		極小值-1

由上表知當a=-2時，f(1)是f(x)的極小值

且f(x)的單調遞減區間是[-2,1] 

法Ⅱ: ∵f(1)=-1由≥-1恒成立

有

=≥0恒成立

必有   即a=-2 

以下同法Ⅰ.