Question

已知定義在實數集R上的函數y=f（x）滿足條件：對于任意實數x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）是奇函數；
（3）若x＞0時，f（x）＞0，f（-1）=-2，求f（x）在[-2，1]上的值域．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，代入恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）即可求得．
（2）令y=-x，結合（1）的結論，可得f（x）是奇函數；
（3）可由定義法證明函數在[-2，1]上單調增，進而可得函數的值域．

解答：（1）解：令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0
（2）證明：令y=-x，則f（0）=f（-x）+f（x），即f（-x）=-f（x）
故f（x）為奇函數；
（3）解：任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，故 f（x₂-x₁）＞0
又有題設知 f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0
所以該函數f（x₂）＞f（x₁）
所以該函數f（x）為（-∞，+∞）單調增函數
所以函數f（x）在[-2，1]上單調增
因為f（-1）=-2，所以f（-2）=f（-1）+f（-1）=-4，f（1）=-f（-1）=2
所以f（x）在[-2，1]上的值域為[-4，2]．

點評：本題考查抽象函數，考查賦值法的運用，考查函數的單調性，考查函數的值域，正確賦值是關鍵．