Question

設關于x函數f（x）=cos2x-4acosx+2a其中0≤x≤

π

2

（1）將f（x）的最小值m表示成a的函數m=g（a）；
（2）是否存在實數a，使f（x）＞0在x∈[0，

π

2

]上恒成立？
（3）是否存在實數a，使函數f（x） 在x∈[0，

π

2

]上單調遞增？若存在，寫出所有的a組成的集合；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,余弦函數的定義域和值域

專題：綜合題,三角函數的求值

分析：（1）換元，利用配方法，再分類討論，即可求出函數m=g（a）；
（2）f（x）＞0恒成立?g（a）＞0，結合g（a）的最大值，即可得出結論；
（3）由題意，y=2（t-a）²-2a²+2a-1在[0，1]上單調遞減，即可求出所有的a組成的集合．

解答： 解：（1）設t=cosx，由0≤x≤

π

2

知t∈[0，1]
f（x）=2cos²x-4acosx+2a-1=2（t-a）²-2a²+2a-1．
當a＜0時，g（a）=2a-1；
當0≤a≤1時，g（a）=-2a²+2a-1；
當a≥1時，g（a）=1-2a．
所以g（a）=

2a-1，a＜0 -2a2+2a-1，0≤a≤1 1-2a，a＞1

；
（2）f（x）＞0恒成立?g（a）＞0，
由于g（a）的最大值為-

1

2

，所以g（a）＞0無解．
故不存在a，使得f（x）＞0恒成立．
（3）因為t=cosx在[0，

π

2

]上的減函數，
所以f（x）在[0，

π

2

]上遞增，只需y=2（t-a）²-2a²+2a-1在[0，1]上單調遞減，故a≥1
所以存在a∈[1，+∞），使函數f（x）為增函數．

點評：本題考查的是余弦函數的定義域和值域，考查函數的最值與單調性，難度中等．