Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，是橢圓上在第二象限內的一點，且直線的斜率為.

（1）求點的坐標；

（2）過點作一條斜率為正數的直線與橢圓從左向右依次交于兩點，是否存在實數使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，使得

【解析】

（1）由和直線的斜率可得方程；代入橢圓方程解方程即可求得點坐標；（2）由和點坐標得：軸；假設直線：，代入橢圓方程可求得的范圍和韋達定理的形式，利用韋達定理表示出，可整理出，從而可得；結合軸可知，進而得到結果.

（1）由及直線的斜率為得直線的方程為：

代入橢圓方程整理得：

解得：或（舍），則：

點的坐標為

（2）由及得：軸

設直線的方程為：

代入橢圓方程整理得：

由直線與橢圓交于，兩點得：，

結合，解得：

由韋達定理得：，

直線和的傾斜角互補，從而

結合軸得：，故

綜上所述：存在，使得