Question

【題目】已知函數，，現有如下兩種圖象變換方案：

（方案1）：將函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的一半，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位長度；

（方案2）：將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標變為原來的一半，縱坐標不變.

請你從中選擇一種方案，確定在此方案下所得函數的解析式，并解決如下問題：

（1）用“五點作圖法”畫出函數在的閉區間上的圖象（列表并畫圖）；

（2）請你在答題紙相應位置逐一寫出函數的①周期性②奇偶性③單調遞增區間④單調遞減區間.

Answer 1

【答案】無論在何種方案下所得的函數都是.（1）答案見解析；（2）答案見解析.

【解析】

在（方案1）和（方案2）中，利用三角函數圖象變換規律可得出函數的解析式為.

（1）當時，求得，分別令等于、、、、、，求得對應的值，列表、描點、連線，進而可得出函數在區間上的圖象；

（2）根據函數的解析式可得出函數的最小正周期、奇偶性，分別解不等式、，可分別得出函數的單調遞增區間和遞減區間.

（方案1）：將函數的圖象上所有點的橫標變為原來的一半，縱坐標不變，

得到函數的圖象，再將函數圖象向左平移個單位長度得到的圖象；

（方案2）：將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，

再將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的一半，縱坐標不變，得到的圖象，即.

所以，無論在何種方案下所得的函數都是.

（1）當時，，列表如下：

所以，函數在區間上圖象如下圖所示：

（2）函數，

最小正周期：；奇偶性：非奇非偶函數；

增區間：令，解得，

所以，函數的單調遞增區間為；

減區間：令，解得，

所以，函數的單調遞減區間為.