Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+1．
（Ⅰ）證明：當x＞0時，f（x）≤x；
（Ⅱ）設 ，若g（x）≥0對x＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：構造函數m（x）=f（x）﹣x=lnx+1﹣x， 得x=1；
當x∈（0，1）時，m'（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，m'（x）＜0；
∴[m（x）]max=m（1）=0；
∴m（x）≤0；
∴f（x）≤x；
（Ⅱ）若g（x）≥0對x＞0恒成立等價于 對x＞0恒成立；
記 ，問題等價于a≥G（x）max；
由（Ⅰ）知lnx+1≤x（當且僅當x=1時取得等號）；
∴ （當且僅當x=1時取得等號）；
故G（x）max=1，所以a≥1；
∴實數a的取值范圍為[1，+∞）
【解析】（Ⅰ）先構造函數m（x）=lnx+1﹣x，然后求導，根據導數符號即可求出函數m（x）的最大值為0，即得到m（x）≤0，從而證得f（x）≤x；（Ⅱ）根據x＞0， 便可解得 ，而根據上面知lnx+1≤x恒成立，從而便可求得 的最大值，進而即可得出實數a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．