Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x．
（1）若a= ，求函數f（x）的單調區間；
（2）若x∈[1，+∞）時恒有f（x）≤a﹣1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a= 時，f（x）=xlnx﹣ x2，x＞0．

f（x）的導數為f′（x）=1+lnx﹣x，

令g（x）=1+lnx﹣x，g′（x）= ﹣1，

當x＞1時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）遞增．

即有g（x）在x=1處取得極大值，且為最大值0．

則g（x）≤0，即1+lnx﹣x≤0，

即f′（x）≤0，則f（x）在（0，+∞）遞減．

綜上可得，f（x）的減區間為（0，+∞），無增區間

（2）解：當x≥1時，f（x）≤a﹣1，

即為xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x≤a﹣1，

當x=1時，上式顯然成立．

當x＞1時，可得a≥ ．

由 ﹣1= ，

設g（x）=xlnx﹣（x﹣1）﹣（x﹣1）2（x＞1），

g′（x）=1+lnx﹣1﹣2（x﹣1）=lnx﹣2（x﹣1），

由g″（x）= ﹣2＜0在x＞1恒成立，

可得g′（x）在（1，+∞）遞減，可得g′（x）＜g′（1）=0，

即g（x）在（1，+∞）遞減，可得g（x）＜g（1）=0，

則 ＜1成立，

即有a≥1．

即a的范圍是[1，+∞）．

【解析】（1）求得f（x）的解析式，求出導數，令g（x）=1+lnx﹣x，求出導數，單調區間和最大值，即可得到f（x）的單調區間；（2）當x≥1時，f（x）≤a﹣1，即為xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x≤a﹣1，討論x=1和x＞1，由參數分離和構造函數g（x）=xlnx﹣（x﹣1）﹣（x﹣1）2（x＞1），求出導數和單調性，即可判斷g（x）的單調性，可得a的范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．