Question

【題目】選修4﹣4：極坐標與參數方程
極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知曲線C1的極坐標方程為 ，曲線C2的極坐標方程為ρsinθ=a（a＞0），射線 ， 與曲線C1分別交異于極點O的四點A，B，C，D．
（Ⅰ）若曲線C1關于曲線C2對稱，求a的值，并把曲線C1和C2化成直角坐標方程；
（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）C1：即 ρ2=2 ρ（ sinθ+ cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，
化為直角坐標方程為 （x﹣1）2+（y﹣1）2=2．
把C2的方程化為直角坐標方程為 y=a，因為曲線C1關于曲線C2對稱，故直線y=a經過圓心（1，1），
解得a=1，故C2的直角坐標方程為 y=1．
（Ⅱ）由題意可得， ； φ； ； =2 cos（ +φ），
∴|OA||OC|+|OB||OD|=8sin（φ+ ）sinφ+8cos（ +φ）cosφ=8cos[（ +φ）﹣φ]=8× =4
【解析】（Ⅰ）把C1、把C2的方程化為直角坐標方程，根據因為曲線C1關于曲線C2對稱，可得直線y=a經過圓心（1，1），求得a=1，故C2的直角坐標方程．（Ⅱ）由題意可得， ； φ； ； =2 cos（ +φ），再根據|OA||OC|+|OB||OD|=8sin（φ+ ）sinφ+8cos（ +φ）cosφ=8cos ，計算求得結果．