Question

【題目】已知函數f（x）=|x+a|+|x+ |（a＞0，m∈R，m≠0）．
（1）當a=2時，求不等式f（x）＞3的解集；
（2）證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2時，不等式f（x）＞3即為|x+2|+|x+ |＞3．

當x＜﹣2時，不等式為： ，解得 ；

當 時，不等式為： ，無解；

當 時，不等式為： ，解得 ．

綜上，不等式f（x）＞3的解集為 ．

（2）證明：f（m）+f（﹣ ）=|m+a|+|m+ |+|﹣ |+|﹣ + |

≥|m+a+m+ + ﹣a+ ﹣ |=2|m+ |，

∵|m+ |=|m|+| |≥2，

∴2|m+ |≥4，

即f（m）+f（﹣ ）≥4．

【解析】（1）討論x的范圍，去絕對值符號化簡不等式解出；（2）利用絕對值三角不等式證明．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法和不等式的證明的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等才能正確解答此題．