Question

△ABC中，BC邊上的高AD=BC，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則

b

c

+

c

b

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：利用基本不等式即可得出最小值2．又S=

1

2

bcsinA=

1

2

a•AD=

1

2

a2，可得

a2

bc

=sinA．由余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

．可得

b

c

+

c

b

=

b2+c2

bc

=

b2+c2-a2

cb

+

a2

bc

=2cosA+sinA=

5

sin(A+θ)≤

5

，其中θ=arctan2．再利用三角函數的單調性即可得出．

解答： 解：∵b＞0，c＞0，∴

b

c

+

c

b

≥2

b c • c b

=2，當且僅當b=c時取等號．即

b

c

+

c

b

的最小值為2．
又S=

1

2

bcsinA=

1

2

a•AD=

1

2

a2，∴

a2

bc

=sinA．
又余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

．
∴

b

c

+

c

b

=

b2+c2

bc

=

b2+c2-a2

cb

+

a2

bc

=2cosA+sinA=

5

sin(A+θ)≤

5

，其中θ=arctan2．
綜上可得：

b

c

+

c

b

的取值范圍是[2，

5

]．
故答案為：[2，

5

]．

點評：本題綜合考查了基本不等式、余弦定理、三角形的面積計算公式、兩角和差的正弦公式、三角函數的單調性有界性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．