Question

【題目】數列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N* ． （Ⅰ）證明：數列{ }是等差數列；
（Ⅱ）設bn=3n ，求數列{bn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】證明（Ⅰ）∵nan+1=（n+1）an+n（n+1）， ∴ ，
∴ ，
∴數列{ }是以1為首項，以1為公差的等差數列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
∴ ，
bn=3n =n3n ，
∴ 3n﹣1+n3n①
3n+n3n+1②
① ﹣②得 3n﹣n3n+1
=
=
∴
【解析】（Ⅰ）將nan+1=（n+1）an+n（n+1）的兩邊同除以n（n+1）得 ，由等差數列的定義得證．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn=3n =n3n ， 利用錯位相減求出數列{bn}的前n項和Sn ．