Question

已知數列{a_n}滿足a1=

5

2

，且an=

4an-1-1

an-1+2

（n∈N^*，且n≥2）
（Ⅰ）設bn=

1

an-1

，求證：{b_n}是等差數列；
（Ⅱ）設cn=(n+1)•3n•an，求{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出bn+1-bn=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

an-1

3(an-1)

=

1

3

，由此能證明{b_n}是等差數列．
（Ⅱ）由已知條件得an=

n+4

n+1

，從而cn=(n+1)•3n•

n+4

n+1

=(n+4)•3n，由此利用錯位相減法能求出{c_n}的前n項和S_n．

解答： （Ⅰ）證明：∵數列{a_n}滿足a1=

5

2

，且an=

4an-1-1

an-1+2

，
bn=

1

an-1

，
∴bn+1-bn=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

4an-1 an+2

-

1

an-1

=…=

an-1

3(an-1)

=

1

3

，
∴{b_n}是等差數列
（Ⅱ）解：∵bn=b1+(n-1)d=

1

a1-1

+(n-1)

1

3

=

n+1

3

，
∴

1

an-1

=

n+1

3

，∴an=

n+4

n+1

，
∴cn=(n+1)•3n•

n+4

n+1

=(n+4)•3n
由錯位相減法得：
Sn=5×31+6×32+7×33+…+(n+3)×3n-1+(n+4)×3n，①
3Sn=5×32+6×33+7×34+…+(n+3)×3n+(n+4)×3n+1，②
①-②，得：
-2Sn=5×3+32+33+34+…+3n-(n+4)×3n+1，
∴Sn=

2n+7

4

×3n+1-

21

4

．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．