Question

已知橢圓方程為，左、右焦點分別是，若橢圓上的點到的距離和等于．
（Ⅰ）寫出橢圓的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設點是橢圓的動點，求線段中點的軌跡方程；
（Ⅲ）直線過定點，且與橢圓交于不同的兩點，若為銳角（為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的方程，焦點
（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）由題意得：，
又點橢圓上，∴
∴　橢圓的方程，焦點．　                     ……5分
（Ⅱ）設橢圓上的動點，線段中點，
由題意得：，
代入橢圓的方程得，，
即為線段中點的軌跡方程．　　　                       ……9分
（Ⅲ）由題意得直線的斜率存在且不為，
設代入整理，
得　，
　　　①
設，∴　
∵為銳角，即，
又　．
∴　

，　∴　．　②
由①、②得　，∴的取值范圍是．　              ……14分
點評：圓錐曲線的綜合問題一般離不開直線方程和圓錐曲線方程聯立方程組，運算量較大，注意到聯立得到直線方程后，不要忘記驗證.