Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₁₀=55，S₂₀=210．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得b₁、b_m、b_k成等比數列．若存在，求出所有符合條件的m、k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，則．（1分）
由已知，得（3分）
即解得（5分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=n（n∈N^*）．（6分）
（2）假設存在m、k（k＞m≥2，m，k∈N），使得b₁、b_m、b_k成等比數列，
則b_m²=b₁b_k．（7分）
因為，（8分）
所以．
所以．（9分）
整理，得．（10分）
因為k＞0，所以-m²+2m+1＞0．（11分）
解得．（12分）
因為m≥2，m∈N^*，
所以m=2，此時k=8．
故存在m=2、k=8，使得b₁、b_m、b_k成等比數列．（14分）
分析：（1）設出其首項和公差，直接利用S₁₀=55，S₂₀=210求出首項和公差即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）先求出，再代入b₁、b_m、b_k成等比數列對應的等量關系，求出m、k之間的關系式，再利用題中k＞m≥2，k，m∈N^*，即可求出對應的m、k的值．
點評：本題第一問主要考查利用等差數列的前n項和求數列{a_n}的通項公式以及等比關系的確定，是對等差數列，等比數列基礎知識的考查．作這一類型題目，一般是設出基本量，利用已知條件列出等量關系，再進行求解即可．