Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足f（1）=1，f（-1）=0，且對任意實數x，恒有f（x）≥x成立．
（1）求a，b，c的值；
（2）設函數g（x）=f（x）-mx（m∈R），且g（x）在x∈[-1，1]上嚴格單調，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=1，f（-1）=0，得方程組，推出b=a+c=

1

2

，由對任意實數x，恒有f（x）≥x成立，得不等式組，利用基本不等式即不等式的性質可求得a，b，c的值；
（2）由（1）可得f（x）表達式，從而可表示出g（x），根據二次函數的性質知，要使g（x）滿足題意，須有對稱軸不在區間[-1，1]內部，從而可得不等式組，解出即可；

解答：解：（1）由題意得：

a+b+c=1 a-b+c=0

，則b=a+c=

1

2

，
又對任意實數x，都有f（x）≥x，即ax2-

1

2

x+c≥0，
則必須

a＞0 △= 1 4 -4ac≤0

⇒

a＞0 ac≥ 1 16

，
于是c＞0，所以

1

2

=a+c≥2

ac

⇒ac≤

1

16

，
所以只有ac=

1

16

，與a+c=

1

2

聯立解得：a=c=

1

4

，
綜上可得：a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

；
（2）由（1）解得：f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

，于是g（x）=f（x）-mx=

1

4

[x2+(2-4m)x+1]，
要使g（x）在x∈[-1，1]上嚴格單調，則必須：
對稱軸x=2m-1≤-1或2m-1≥1，解得：m≤0或m≥1，
則所求的實數m的范圍是（-∞，0）∪（1，+∞）．

點評：本題考查二次函數的性質、不等式的性質及恒成立，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力．