Question

【題目】已知橢圓的焦距為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若不經過點的直線與交于兩點，且直線與直線的斜率之和為，證明：直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由已知條件先求出橢圓的半焦距，再把代入橢圓方程，結合性質 ，求出 、 、，即可求出橢圓的方程；（2）設直線的方程為與橢圓的方程聯立，根據韋達定理及過兩點的斜率公式，利用直線的斜率之和為零可得，從而可得結果.

試題解析：（1）因為橢圓的焦距為，且過點，所以.因為，解得，所以橢圓的方程為.

（2）設點，則，由消去得，（*）則，因為，即，化簡得.即.（**）代入得，整理得，所以或.若，可得方程（*）的一個根為，不合題意，所以直線的斜率為定值，該值為.

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系和過兩點的斜率公式，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或 ；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.