Question

【題目】已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

由f（x）的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出ex-kx=0在（0，+∞）無變號(hào)零點(diǎn)，
令g（x）=ex-kx，g′（x）=ex-k，需要對(duì)k進(jìn)行分類討論來確定導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)的根．

∵函數(shù)的定義域是（0，+∞），
∴ ．
x=1是函數(shù)f（x）的唯一一個(gè)極值點(diǎn)
∴x=1是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=0的唯一根．
∴ex-kx=0在（0，+∞）無變號(hào)零點(diǎn)，
令g（x）=ex-kx
g′（x）=ex-k
①k≤0時(shí)，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）時(shí)單調(diào)遞增的
g（x）的最小值為g（0）=1，g（x）=0無解
②k＞0時(shí)，g′（x）=0有解為：x=lnk
0＜x＜lnk時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；x＞lnk時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增.
∴g（x）的最小值為g（lnk）=k-klnk
∴k-klnk≥0
∴0＜k≤e

綜上所述，k≤e．
故選：A．