Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]
已知函數f（x）=|x﹣m|﹣1．
（1）若不等式f（x）≤2的解集為{x|﹣1≤x≤5}，求實數m的值；
（2）在（1）的條件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2對一切實數x恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）≤2得，|x﹣m|≤3，解得m﹣3≤x≤m+3，

又已知不等式f（x）≤2的解集為{x|﹣1≤x≤5}，∴ ，解得m=2

（2）解：當m=2時，f（x）=|x﹣2|﹣1，由于f（x）+f（x+5）≥t﹣2對一切實數x恒成立，

則|x﹣2|+|x+3|﹣2≥t﹣2對一切實數x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|≥t對一切實數x恒成立，

設g（x）=|x﹣2|+|x+3|，

于是 ，

所以當x＜﹣3時，g（x）＞5；當﹣3≤x≤2時，g（x）=5；當x＞2時，g（x）＞5．

綜上可得，g（x）的最小值為5，∴t≤5，

即t的取值范圍為（﹣∞，5]

【解析】（1）求得不等式f（x）≤2的解集，再根據不等式f（x）≤2的解集為{x|﹣1≤x≤5}，求得實數m的值．（2）由題意可得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值大于或等于t﹣2，求得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值，可得t的范圍．
【考點精析】利用絕對值不等式的解法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．