Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC與BD相交于點O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=2，CF=3．
（1）求證：BD⊥平面ACFE；
（2）當直線FO與平面BED所成角的大小為45°時，求AE的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．…（1分）

∵AE⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴BD⊥AE，

又AC平面ACFE，AE平面ACFE，AC∩AE=A，

∴BD⊥平面ACFE

（2）解：以O為原點，以OA，OB所在直線分別為x軸，y軸，以過點O且平行于CF的直線為z軸建立空間直角坐標系．

則 ．

設AE=a，則E（1，0，a），

∴ ，

設平面BDE的法向量為 ，則 ）

即 令z=1，得 ，

∴ ，

∵直線FO與平面BED所成角的大小為45°，∴ ，

解得a=2或 （舍），∴|AE|=2．

【解析】（1）由AE⊥平面ABCD得出AE⊥BD，由菱形性質得BD⊥AC，故而BD⊥平面ACFE；（2）以O為原點建立坐標系，設CF=a，求出 和平面BDE的法向量，利用直線FO與平面BED所成角的大小為45°，可得 ，即可求出a的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．