Question

已知定義在R上的函數f(x)對任意的實數x₁、x₂滿足關系f(x₁+x₂)?=f(x₁)+f(x₂)+2.

(1)證明f(x)的圖象關于點(0,-2)成中心對稱圖形;

(2)若x＞0,則有f(x)＞-2,求證:f(x)在(-∞,+∞)上是增函數.

Answer 1

剖析:對于(1),只要證明=-2即可;對于(2),注意到f(x)是抽象函數,欲證單調性,需對f(x)進行適當的變形.

證明:(1)令x₁=x₂=0,則f(0+0)=f(0)+f(0)+2,

    所以f(0)=-2.

    對任意實數x,令x₁=x,x₂=-x,有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2,

    即f(0)-2=f(x)+f(-x),得=-2.

    又=0,

    這表明點M(x,f(x))與點N(-x,f(-x))的中點是(0,-2),即點M₁N關于點(0,-2)成中心對稱.

    由點M的任意性知:函數f(x)的圖象關于點(0,-2)成中心對稱.

    (2)對任意實數x₁、x₂,且x₁＜x₂.

    由x₂-x₁＞0,有f(x₂-x₁)＞-2.

    于是f(x₂)=f［(x₂-x₁)+x₁］=f(x₂-x₁)+f(x₁)+2.

    所以f(x₂)-f(x₁)=f(x₂-x₁)+2＞-2+2=0,

    即f(x₂)＞f(x₁).

    所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函數.

講評:對于(1),求出f(0)=-2是解題的關鍵;對于(2),變形f(x₂)=f［(x₂-x₁)+x₁］=f(x₂-x₁)+f(x₁)+2是解題的關鍵.