Question

【題目】若定義在上的函數滿足：對任意的，當時，都有，則稱是“非減函數”.

（1）若是“非減函數”，求的取值范圍；

（2）若為周期函數，且為“非減函數”，證明是常值函數；

（3）設恒大于零，是定義在R上、恒大于零的周期函數，是的最大值。函數。證明：“是周期函數”的充要條件“是常值函數”.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）直接由求得的取值范圍；

（2）用反正法證明，如果函數不是常函數，即函數可能是單調遞增函數、或者部分單調遞增部分常值。利用函數的周期性和不遞減的性質，即可證明結論與假設矛盾，即假設不成立，是常值函數。

（3）首先證明充分性，是很顯然的，的周期性與一樣。然后再證明必要性，利用（2）的結論即可得證。

（1）由得，

，得。

故的取值范圍是

（2）假設不是常值函數，并且周期為。令，且存在一個使得。由于的性質可知，，且。

因為為周期函數，所以，這與前面的結論矛盾，所以假設不成立，即是常值函數

（3）充分性證明：當是常值函數時，令，即，因為是周期函數，所以也是周期函數。

必要性證明：當是周期函數時，令周期為，即，則，又因為是周期函數，所以，即可得到，所以是周期函數，由（2）的結論可知，是常值函數。

綜上所述，是周期函數的充要條件是是常值函數。