Question

【題目】設拋物線的準線與軸交于，拋物線的焦點，以為焦點，離心率的橢圓與拋物線的一個交點為；自引直線交拋物線于兩個不同的點，設.

（1)求拋物線的方程及橢圓的方程；

（2）若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設橢圓的方程為，運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解方程可得，進而得到橢圓的方程；再由焦點坐標可得，進而得到拋物線的方程；

（2）記，運用向量共線的坐標表示和聯立直線方程和拋物線方程，運用韋達定理和弦長公式，及基本不等式，即可得到所求范圍.

(1)設橢圓的標準方程為，由題意得，解得

∴橢圓的方程為

∴點的坐標為，∴，∴拋物線的方程是

(2)由題意得直線的斜率存在，設其方程為，

由消去整理得（*）∵直線與拋物線交于兩點，∴，設，則①，②，

∵，∴∴，③

由①②③消去得.

∴ ，即 ，將代入上式得， ，∵在上單調遞減，

∴，即，∴ ，

∴，即的取值范圍為.