Question

【題目】橢圓C： =1（a＞b＞0）的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，且與橢圓x2+ =1有相同離心率，直線l：y=kx+m與橢圓C交于不同的A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓C上存在點Q，滿足 ，（O為坐標原點），求實數λ取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（ I）由已知可 解得 ，∴b=1．
所求橢圓C的方程 ．
（ II）由 得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
∴△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（1+2k2﹣m2）．
由直線直線l與橢圓C交于不同的A，B兩點，有△＞0，∴1+2k2＞m2 ． ①
設點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則
于是 ．
當m=0時，易知點A，B關于原點對稱，則λ=0；
當m≠0時，易知點A，B不關于原點對稱，則λ≠0．
由 ，得 即 ．
∵Q點在橢圓上，∴ ．
化簡得4m2（1+2k2）=λ2（1+2k2）2 ．
∵1+2k2≠0，∴4m2=λ2（1+2k2）． ②
由①②兩式可得λ2＜4，∴﹣2＜λ＜2且λ≠0．
綜上可得實數λ的取值范圍是﹣2＜λ＜2
【解析】（Ⅰ）利用已知條件列出橢圓幾何量的方程組，求解a，b，即可求橢圓C的方程；（Ⅱ）聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理，結合向量關系，推出結果即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．