Question

【題目】（題文）（題文）已知橢圓的離心率為,過右焦點且斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點, N為弦AB的中點,O為坐標原點.

(1)求直線ON的斜率；

(2)求證:對于橢圓上的任意一點M,都存在,使得成立.

Answer 1

【答案】(1) .

(2)見解析.

【解析】分析：（1）設橢圓的焦距為，由，可得，從而橢圓的方程可化為，右焦點，直線所在的直線方程為，與橢圓方程聯立化為，在利用中點公式與斜率公式即可求出；

（2）利用平面向量的基本定理，根與系數的關系，點與橢圓的位置關系，即可得到證明．

詳解： (1)設橢圓的焦距為,因為,所以有,故有.

從而橢圓的方程可化為:

知右焦點的坐標為(),據題意有所在的直線方程為:. ②由①,②有:.

③設,弦的中點,由③及韋達定理有:

所以,即為所求.

(2)顯然與可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對于這一平面內的向量,有且只有一對實數,使得等式成立.設,由(1)中各點的坐標有:,故.

又因為點在橢圓上,所以有整理可得:

. ④

由③有:.所以

⑤又點在橢圓上,故有 .

⑥將⑤,⑥代入④可得:.

所以,對于橢圓上的每一個點,總存在一對實數,使等式成立,且.

所以存在,使得.也就是:對于橢圓上任意一點 ,總存在,使得等式成立.