Question

【題目】設橢圓的方程為，斜率為的動直線交橢圓于、兩點，以線段的中點為圓心，為直徑作圓.

（1）求圓心的軌跡方程，并描述軌跡的圖形；

（2）若圓經過原點，求直線的方程；

（3）證明：圓內含或內切于圓.

Answer 1

【答案】（1）圓心的軌跡方程為，軌跡為線段；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）設直線的方程為，與橢圓方程聯立，利用判別式大于零，以及韋達定理和中點坐標公式，可得圓心的軌跡方程，并確定軌跡圖形；

（2）利用弦長公式求得，以及圓的方程，代入原點，可求的值，進而可求得直線的方程；

（3）利用兩圓內切和內含的條件，結合兩點間的距離公式，計算可得出結論成立.

（1）設斜率為的動直線的方程為，

聯立橢圓方程，可得，

設、，則，即，

由韋達定理得，，

則中點，可得圓心的軌跡方程為，即軌跡為線段；

（2）由（1）可得，

可得圓的方程為，

若圓經過原點，可得，解得，

因此，直線的方程為；

（3）圓的圓心設為，半徑為，

圓的圓心，半徑為，

由，

可令，則，

可得，

可得圓內含或內切于圓.