Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R且a≠0），f′（x）是它的導函數，且對任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（1）求f（x）的解析表達式；
（2）設t＞0，曲線C：y=f（x）在點P（t，f（t））處的切線為l，l與坐標軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中二次函數f（x）=ax²+bx+c，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立，根據多項式相等的性質，構造方程求出系數，可得f（x）的解析表達式；
（2）求出切線方程，進而得到三角形面積S（t）的表達式，結合函數的圖象和性質可得最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx+c
∴f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+（2a+b）x+（a+b+c）
f′（x）=2ax+b
∵f′（x）=f（x+1）+x²恒成立
∴2ax+b=（a+1）x²+（2a+b）x+（a+b+c）
∴

a+1=0 2a+b=2a a+b+c=b

解得a=-1，b=0，c=1
∴f（x）=-x²+1
（2）由（1）得f（x）=-x²+1，f′（x）=-2x
則f（t）=-t²+1，f′（t）=-2t
故切線l的方程為y-（-t²+1）=-2t（x-t）
當x=0時，y=t²+1，當y=0時，x=

t2+1

2t

，
∴S（t）=

1

2

|xy|=

(t2+1)2

4t

∴S′（t）=

(t2+1)(3t2-1)

4t2

∵t∈（0，

3

3

）時，S′（t）＜0，t∈（

3

3

，+∞）時，S′（t）＞0，
故當t=

3

3

時，S（t）取最小值

4

9

3

點評：本題考查的知識點是求二次函數的解析式，利用導數法求最值，是導數與二次函數圖象和性質的綜合應用，難度較大．